Urodził się około 1897 roku.
W okresie Dwudziestolecia służył jako podoficer zawodowy w Wojsku Polskim. Jego jednostką macierzystą był 14 pułk piechoty z Włocławka. Na dzień 24 listopada 1929 został odnotowany w stopniu plutonowego.
Mocą Rozkazu Organizacyjnego Nr 1 Dowództwa 14 pułku piechoty z 16 września 1930 plutonowy Leon Kłosowski przydzielony został do personelu kwatermistrzostwa. Rozkaz organizacyjny Nr 1 z dnia 1 kwietnia 1932 przydzielił służbowo plutonowego zawodowego Kłosowskiego do kompanii administracyjnej włocławskiego pułku. Taki sam przydział otrzymał na mocy rozkazu organizacyjnego Nr 3 z 1 września 1933.
Dalsze losy Leona Kłosowskiego pozostają nieznane.
Leon Kłosowski był żonaty z Walerią Rzeźnikowską, z którą miał syna Kazimierza Ignacego (ur. 2 listopada 1929 we Włocławku).
