Urodził się w dniu 2 lutego 1892 w Warszawie jako syn Stanisława i Tekli Guliny. Był wyznania rzymsko-katolickiego, ochrzczony został w warszawskim kościele św. Krzyża. Ukończył siedem klas szkoły podstawowej i gimnazjum. Następnie kształcił się w Suworowskim Korpusie Kadetów w Warszawie, uzyskując świadectwo dojrzałości 1 lipca 1912. W armii carskiej służył od 1 listopada 1912 do 1 grudnia 1918.
Oficjalnie przyjęty do Wojska Polskiego dekretem Naczelnego Wodza z 8 lipca 1920 – jako oficer powołany z poboru, z zatwierdzeniem posiadanego stopnia kapitana w piechocie jako warunkowego (faktycznie w Wojsku Polskim służył od 20 sierpnia 1919). Zaliczony do Rezerwy armii z jednoczesnym powołaniem do służby czynnej na czas wojny, aż do demobilizacji. Otrzymał wówczas przydział do batalionu zapasowego Nowogródzkiego Pułku Strzelców. W ostatniej dekadzie lipca 1920 dowodził batalionem marszowym ze Słonimia, który został wówczas włączony w skład Nowogródzkiego Pułku Strzelców (późniejszy 80 pp) jako jego III batalion. Dekretem Wodza Naczelnego, marszałka Józefa Piłsudskiego, z 26 marca 1921 został zatwierdzony z dniem 1 kwietnia 1920 w stopniu kapitana w piechocie – jako oficer z grupy byłych Korpusów Wschodnich i byłej armii rosyjskiej. Na dzień 1 czerwca 1921 pełnił służbę w Grodzieńskim Pułku Piechoty (późniejszy 81 pp). W dniu 3 maja 1922 został zweryfikowany w stopniu kapitana ze starszeństwem od dnia 1 czerwca 1919 i 387. lokatą. W roku 1923 pełnił obowiązki dowódcy II batalionu 81 pułku piechoty i zajmował 329. lokatę wśród kapitanów korpusu piechoty. Przeniesiony do 74 pułku piechoty, służąc w którym zajmował w roku 1924 – 78. lokatę wśród kapitanów piechoty.
Awansowany na stopień majora został w dniu 3 maja 1926 ze starszeństwem od dnia 1 lipca 1925 i 40. lokatą w korpusie oficerów piechoty.
W dniu 11 października 1926 ogłoszono wyznaczenie mjr. Józefa Kostko na stanowisko dowódcy II batalionu 74 pułku piechoty. Z kolei w dniu 17 listopada 1926 ogłoszono jego przeniesienie, w korpusie oficerów piechoty, z 74 pp do 14 pułku piechoty z Włocławka – na stanowisko dowódcy III batalionu.
Podczas inspekcji 14 pp przeprowadzonej w dniach 3-4 lutego 1927 przez gen. dyw. Władysława Junga został oceniony jako bardzo dobry administrator. W dniu 23 maja 1927 ogłoszono jego przesunięcie ze stanowiska dowódcy III baonu – na stanowisko kwatermistrza 14 pułku piechoty. W dniu 22 marca 1928 został oceniony przez gen. Junga jako taktycznie słaby (jako kwatermistrz 14 pp był wówczas zawieszony w czynnościach). Z kolei w opinii gen. Junga z dnia 30 czerwca 1928 r. wskazany jest jako kwatermistrz 14 pp „zawieszony obecnie w czynnościach za podanie nieścisłych dat w swych dokumentach personalnych. Był na ogół słaby”.
W dniu 12 marca 1929 ogłoszono zwolnienie mjr. Kostko z zajmowanego stanowiska i pozostawienie bez przynależności służbowej z równoczesnym oddaniem do dyspozycji dowódcy Okręgu Korpusu Nr VIII (mjr Kostko pozostawał wówczas w miejscu zamieszkania do dalszych zarządzeń). Wyrokiem Wojskowego Sądu Oficerskiego Nr VIII w Grudziądzu (sygn. I.Ko. 320/28) został skazany, za podanie fałszywych dat personalnych, na trzy miesiące więzienia i wydalenie z korpusu oficerskiego.
Archiwum Pana Patryka Czerwonka.
Archiwum Mariana Ropejko.
Po 1 września 1939 mieszkał w Wilnie i pracował jako główny buchalter Litewskich Kolei Państwowych. Prawdopodobnie w latach 1943-1945 służył w armii radzieckiej. Po wojnie powrócił do Polski i zamieszkał w Świebodzinie. Na dzień 24 września 1946 pracował jako referent wojskowy w tamtejszym starostwie. Wstąpił do Polskiej Partii Robotniczej. Zajmował stanowisko prezesa Związku Osadników Wojskowych w Świebodzinie i członka tamtejszej Powiatowej Rady Narodowej. Następnie mieszkał w Słubicach, gdzie od października 1948 do maja 1949 piastował funkcję starosty. Od lipca 1949 zameldowany w Zielonej Górze, gdzie zajmował między innymi stanowisko kierownika Wydziału Ogólnego Prezydium Powiatowej Rady Narodowej w Zielonej Górze (na dzień 3 stycznia 1952).
Zmarł po długiej i ciężkiej chorobie w dniu 23 marca 1958 w Sulechowie.
W dniu 20 listopada 1948 zawarł w Świebodzinie związek małżeński z Weroniką Heibert z domu Krasowską (ur. 10 marca 1904 w Baranowiczach).
Major Józef Kostko odznaczony był:
- Krzyżem Walecznych (dwukrotnie)
- Krzyżem Zasługi Wojsk Litwy Środkowej
- Srebrnym Krzyżem Zasługi (przez władze PRL)
