Urodził się w dniu 13 kwietnia 1903 w miejscowości Ulasek (parafia Kobyłka) jako syn Franciszka (właściciela ziemskiego) i Teofili Jarzębskiej. Był wyznania rzymsko-katolickiego. Do roku 1920 ukończył cztery klasy gimnazjum w Warszawie.
W okresie od 15 lipca do 15 listopada 1920 służył ochotniczo jako szeregowy w batalionie telegraficznym i brał czynny udział w walkach z bolszewikami na froncie (bitwy pod Warszawą, Łomżą, Pułtuskiem i Grodnem). Po zdemobilizowaniu kontynuował naukę. Od 1 września do 20 grudnia 1924 uczył się w ósmej klasie bydgoskiego Miejskiego Gimnazjum Matematyczno-Przyrodniczego im. M. Kopernika, po czym odszedł z tej szkoły. Mieszkał wówczas w Myślęcinku pod Bydgoszczą.
W dniu 16 grudnia 1924 zawarł związek małżeński z sekretarką Marianną (Marią) Dworczak (ur. 8 grudnia 1899 w Dolsku, powiat Śrem), córką Andrzeja i Katarzyny Mielcarek. 29 maja 1925 narodził im się syn Lech Arnold Remigiusz.
W okresie od 1 września 1925 do 30 czerwca 1926 kształcił się w Szkole Podchorążych Piechoty w Warszawie, a od 1 września 1926 do 15 sierpnia 1928 w Oficerskiej Szkole Piechoty w Ostrowi Mazowieckiej. Promowany na stopień podporucznika został ze starszeństwem od dnia 15 sierpnia 1928 i 136. lokatą w korpusie oficerów piechoty. Wcielono go wówczas do 14 pułku piechoty z Włocławka, gdzie z dniem 2 października 1928 otrzymał przydział do 1. kompanii c.k.m. na stanowisko dowódcy plutonu. W roku 1930 zajmował 174. lokatę łączną wśród podporuczników piechoty.
We wrześniu 1930 został wyznaczony na 5-miesięczny kurs aplikacyjny oficerów młodszych w Centrum Wyszkolenia Żandarmerii w Grudziądzu, który to kurs rozpoczął się z dniem 3 października 1930. Do rangi porucznika piechoty został awansowany zarządzeniem Prezydenta Rzeczypospolitej z dnia 2 grudnia 1930, ze starszeństwem od dnia 1 stycznia 1931 i 116. lokatą. 30 stycznia 1931 ukończył z wynikiem pomyślnym kurs aplikacyjny w Centrum Wyszkolenia Żandarmerii w Grudziądzu. Z dniem 1 lutego 1931 roku został przeniesiony w korpusie oficerów piechoty z 14 pułku piechoty do Centrum Wyszkolenia Żandarmerii. W tym samym dniu został przesunięty w nowym miejscu służby do 1. kompanii szkolnej na stanowisko oficera-instruktora. W dniu 3 sierpnia 1931 ogłoszono jego przeniesienie z korpusu oficerów piechoty do korpusu oficerów żandarmerii, ze starszeństwem z dnia 1 stycznia 1931 i lokatą 4,3.
Źródło: Rocznik Pamiątkowy Centrum Wyszkolenia Żandarmerii – Grudziądz, listopad 1931 (Jagiellońska Biblioteka Cyfrowa).
Na dzień 20 sierpnia 1931 zajmował stanowisko adiutanta dowódcy batalionu szkolnego i instruktora w Centrum Wyszkolenia Żandarmerii (dowódcą tego batalionu był mjr Guziorski). 4 listopada tr. został przesunięty z 1. kompanii szkolnej do 2. kompanii szkolnej na stanowisko instruktora. Od 7 maja do 10 czerwca 1932 czasowo zajmował stanowisko dowódcy 2. kompanii szkolnej. Z dniem 7 listopada 1932 ponownie przesunięto go do 1. kompanii szkolnej na stanowisko dowódcy II plutonu. W roku 1932 zajmował 5. lokatę wśród poruczników korpusu żandarmerii w swoim starszeństwie.
W lutym 1933 ukarany naganą pisemną (nie skontrolował porządku w rejonie dowodzonego przez siebie plutonu) i 8-dniowym aresztem domowym (za niestosowne zachowanie się wobec starszego stopniem oficera). W tym samym roku ukarany 14-dniowym aresztem domowym obostrzonym przez Dowódcę Okręgu Korpusu Nr VIII, za ukrywanie faktu, iż jest żonaty. W tym okresie nosił się z zamiarem powrotu do korpusu oficerów piechoty. Od 30 stycznia do 10 marca 1934 na stanowisku instruktora w 4. kompanii szkolnej. Rozkazem Ministerstwa Spraw Wojskowych z 5 marca 1934 przeniesiono go z Centrum Wyszkolenia Żandarmerii do 10. dywizjonu żandarmerii z Przemyśla.
Z dniem 11 marca 1934 rozpoczął służbę na stanowisku dowódcy plutonu żandarmerii w Jarosławiu, wchodzącego w skład 10. dyonu żandarmerii. W dniu 24 października 1935 ukarany naganą pisemną – za rozmawianie z osobami postronnymi o sprawach służbowych. W styczniu 1936 ukarany naganą pisemną, za wypożyczenie dla własnych potrzeb, bez zgody przełożonych, pistoletu znajdującego się w depozycie. Również w styczniu 1936, podczas przesłuchania, dopuścił się wymuszenia na świadku napisania oświadczenia niezgodnego z prawdą oraz obraził godność osobistą młodszych stopniem oficerów. Wyrokiem Wojskowego Sądu Okręgowego Nr X w Przemyślu z dnia 3 grudnia 1936 został uznany częściowo winnym dopuszczenia się tych czynów. Orzeczeniem z dnia 27 kwietnia 1936 Sąd Honorowy dla Oficerów Młodszych przy Dowództwie Okręgu Korpusu Nr X uznał go winnym naruszenia honoru oficerskiego i skazał na karę surowej nagany (w sposób nieetyczny ułożył swe stosunki ze śp. Adelą Bryndzówną, co mogło przyczynić się do jej samobójstwa, popełnionego w dniu 15 listopada 1935).
W dniu 26 października 1936 służył już w 7. dywizjonie żandarmerii z Poznania jako oficer śledczy. Na dzień 23 września 1937 zajmował stanowisko dowódcy plutonu żandarmerii w Poznaniu. W sierpniu 1937 ukarany naganą pisemną z powodu nie przedstawienia w terminie tematu pisemnego. Od 27 listopada 1937 na stanowisku adiutanta 7. dyonu żandarmerii w Poznaniu. Na dzień 12 października 1938 pełnił funkcję adiutanta i p.o. oficera śledczego w 7. dyonie żandarmerii. W dniu 23 marca 1939 zajmował 1. lokatę w swoim starszeństwie wśród poruczników korpusu żandarmerii i nadal służył w 7. dywizjonie żandarmerii jako oficer śledczy.
Na dzień 1 września 1939 zajmował stanowisko dowódcy Plutonu Konnego Żandarmerii Nr 7 w dowództwie i sztabie Wielkopolskiej Brygady Kawalerii, z którą to brygadą wziął udział w walkach kampanii wrześniowej docierając do stolicy. W dniu 23 września 1939 została zorganizowana w Warszawie, z resztek Wielkopolskiej, Pomorskiej i Podolskiej Brygad Kawalerii, Zbiorcza Brygada Kawalerii. Dowódcą plutonu żandarmerii w tej brygadzie został por. żand. Adam Kostrzewa. Od 28 września 1939 w niemieckiej niewoli, w której przebywał w oflagach XI B Braunschweig (numer jeniecki: 901) i II C Woldenberg (od dnia 8 stycznia 1942).
Dalsze losy porucznika Adama Kostrzewy pozostają nieznane. Najprawdopodobniej po wyzwoleniu z oflagu pozostał na emigracji.
Por. Adam Kostrzewa odznaczony był:
- Medalem Pamiątkowym za Wojnę 1918-1921
- Medalem Dziesięciolecia Odzyskanej Niepodległości
- Brązowym Medalem za Długoletnią Służbę
