Urodził się w dniu 5 marca 1898 w Rokietnicy (powiat Jarosław) jako syn nieznanego ojca i Izydory Kość (córki Michała i Zofii Deptuch). Siostrą Wacława była Walentyna, urodzona 14 lutego 1903 w Rokietnicy. Ukończył szkołę ludową, po czym pracował przy rodzicach na roli. 21 maja 1916 powołany do armii austro-węgierskiej i wcielony do 90 pułku piechoty, w którym służył do 31 października 1918. W dniu 3 marca 1919 wstąpił do odrodzonego Wojska Polskiego i otrzymał przydział do 14 pułku piechoty. W szeregach tego pułku wziął udział w wojnie polsko-bolszewickiej, walcząc na froncie ukraińskim.
W okresie międzywojennym jako podoficer zawodowy służył w 14 pułku piechoty, dyslokowanym w 1921 do Włocławka. Z dniem 1 maja 1921 awansowany do rangi starszego sierżanta. Przez wiele lat zajmował stanowisko szefa kompanii.
Rozkazem organizacyjnym Nr 1 Dowództwa 14 pułku piechoty z dnia 16 września 1930 starszy sierżant Wacław Kość przydzielony został na stanowisko szefa 6. kompanii strzeleckiej w II batalionie włocławskiego pułku (kompanią dowodził wówczas kpt. Walenty Węgrzyn, a batalionem mjr Stanisław Brzeziński). Na mocy rozkazu organizacyjnego Nr 1 dowództwa 14 pp z dnia 1 kwietnia 1932 i rozkazu organizacyjnego Nr 3 z 1 września 1933 ponownie otrzymywał przydziały na szefa 6. kompanii strzeleckiej. Od 15 marca 1938 piastował stanowisko szefa jednego z batalionów 14 pułku piechoty. W 1938 został odznaczony Brązowym Krzyżem Zasługi – za zasługi w służbie wojskowej.
W okresie niemieckiej okupacji więziony był we Lwowie, a potem (od lipca 1944) w nazistowskim obozie koncentracyjnym Groß-Rosen – w filii Landeshut.
Po II wojnie światowej mieszkał we Włocławku i zatrudniony był jako pracownik umysłowy. Zmarł w dniu 20 października 1954 we włocławskim szpitalu i spoczywa na tamtejszym cmentarzu komunalnym – sektor: 25, rząd: 5, grób: 93.
W dniu 26 maja 1921 w łódzkiej parafii pw. św. Krzyża sierżant sztabowy Wacław Kość (zamieszkały wówczas w Chełmnie) zawarł związek małżeński z Kazimierą z domu Biegańską, córką Antoniego i Apolonii Pudełko (ur. 30 października 1898 w Łodzi, zm. 11 listopada 1968 w Zakrzewie – powiat Aleksandrów Kujawski). Żona spoczywa w sąsiednim grobie. Z ich związku narodziły się córki: Wanda Sabina (ur. 28 czerwca 1922 w Chełmnie), Elżbieta Helena (ur. 16 stycznia 1925 w Toruniu) oraz Zofia Wacława (ur. 3 lipca 1928 we Włocławku).
Starszy sierżant Wacław Kość odznaczony był:
- Brązowym Krzyżem Zasługi (1938)
- Brązowym Medalem za Długoletnią Służbę (1938)
- Medalem Dziesięciolecia Odzyskanej Niepodległości
- Medalem Pamiątkowym za Wojnę 1918-1921
- Odznaką Pamiątkową 14 Pułku Piechoty
