Urodził się w dniu 16 sierpnia 1899 w Wiźnie (powiat Łomża) jako syn Franciszka (drobnego kupca, zm. w 1935) i Aleksandry Nitkiewicz. Jego rodzeństwem byli Jadwiga, Hieronim i Tadeusz. Edukację w szkole powszechnej i średniej ukończył w Łomży w 1921, zdając egzamin maturalny. Z powodów finansowych nie mógł się dalej kształcić cywilnie, więc wstąpił do Szkoły Podchorążych w Warszawie, w której kształcił się (wraz ze szkoleniem unitarnym) w okresie od 1 lipca 1921 do 7 lipca 1922 roku (uczył się w klasie 41. im. gen. Bema i klasie 44. im. płk. Piotra Wysockiego). Szkołę Podchorążych Piechoty ukończył z 221. lokatą. W okresie od 10 sierpnia 1922 do 3 lipca 1923 pobierał naukę na kursie w Oficerskiej Szkole Piechoty (utworzonej przy Szkole Podchorążych Piechoty) – w klasie 50. (utworzonej z klas unitarnych 41. i 44.), której nazwę zmieniono w międzyczasie na I promocję Oficerskiej Szkoły Piechoty. Uroczysta promocja tegoż kursu odbyła się w dniu 3 lipca 1923.
Dekretem Prezydenta Rzeczypospolitej Polskiej z 2 lipca 1923 został promowany na stopień podporucznika ze starszeństwem od 1 lipca 1923 i 121. lokatą w korpusie oficerów piechoty. Rozporządzeniem ministra spraw wojskowych, gen. broni Stanisława Szeptyckiego, jako nowo promowany oficer został wcielony do 25 pułku piechoty na stanowisko dowódcy plutonu. Prezydent RP Stanisław Wojciechowski przemianował z dniem 1 lipca 1923 Franciszka Ptaszyńskiego na oficera zawodowego w korpusie oficerów piechoty, w randze podporucznika i ze 114. lokatą, co ogłoszono dekretem z 16 listopada 1923.
Z dniem 5 października 1924 ppor. Franciszek Ptaszyński został przeniesiony z 25 pułku piechoty do Korpusu Ochrony Pogranicza i przydzielony do 9. batalionu KOP „Kleck” (2 Brygada KOP „Nowogródek”). Awansowany do rangi porucznika ze starszeństwem od 1 lipca 1925 i 98. lokatą w korpusie piechoty. We wrześniu 1925 został przesunięty do 6. batalionu KOP „Iwieniec”. 25 lutego 1926 przeniesiony do 21. batalionu KOP „Niemenczyn” (6 Brygada KOP „Wilno”), a następnie do 24. batalionu KOP „Sejny”. W 1928 uhonorowano go Odznaką Pamiątkową Korpusu Ochrony Pogranicza „Za Służbę Graniczną”.
W 1928 zajmował 89. lokatę na liście poruczników piechoty w swoim starszeństwie, przynależał wówczas do kadry oficerów piechoty pozostając nadetatowym oficerem 25 pułku piechoty. W Korpusie Ochrony Pogranicza służył na stanowisku dowódcy plutonu. Zarządzeniem Ministra Spraw Wojskowych opublikowanym 5 listopada 1928 przeniesiono go z KOP-u do 14 pułku piechoty z Włocławka. Objęcie obowiązków w nowej jednostce nastąpiło w dniu 21 listopada 1928. Objął wówczas dowodzenie nad jednym z plutonów. W roku 1930 zajmował 1741. lokatę łączną wśród poruczników piechoty.
W dniu 16 września 1930 odnotowany został na stanowisku młodszego oficera 3. kompanii strzeleckiej w I batalionie 14 pp (przedtem zajmował takie samo stanowisko w 1. kompanii strzeleckiej). Od 22 września 1930 do 3 listopada 1930 przebywał na kursie oświatowym dla młodszych oficerów. Po powrocie z kursu objął stanowisko dowódcy 4. kompanii strzeleckiej. Na dzień 1 lipca 1933 zajmował 73. lokatę na liście poruczników piechoty w swoim starszeństwie (była to jednocześnie 1099. lokata łączna). 21 września 1933 odnotowany został na stanowisku dowódcy kompanii administracyjnej 14 pp, a w dniu 17 listopada 1933 piastował funkcję zastępcy oficera mobilizacyjnego włocławskiego pułku.
Na dzień 5 czerwca 1935 zajmował już 62. lokatę w swoim starszeństwie, była to jednocześnie 899. lokata łączna wśród poruczników korpusu piechoty. Awansowany do rangi kapitana ze starszeństwem od 19 marca 1937 i 132. lokatą w piechocie. Pozostając na stanowisku zastępcy oficera mobilizacyjnego 14 pułku piechoty zajmował w dniu 23 marca 1939 – 95. lokatę wśród kapitanów piechoty w swoim starszeństwie. Podczas swej służby we Włocławku był członkiem Polskiego Czerwonego Krzyża oraz Ligi Obrony Powietrznej i Przeciwgazowej.
Zgodnie z przydziałem mobilizacyjnym wszedł w skład Ośrodka Zbierania Nadwyżek 14 pułku piechoty, z którym dotarł do stolicy. Wziął udział w obronie Warszawy i tam też dostał się do niemieckiej niewoli. 30 września 1939 został wywieziony do obozu jenieckiego. Podczas pobytu w niewoli przebywał w sześciu różnych obozach, w tym w oflagach X A Sandbostel (numer jeniecki 236), X B Nienburg (przybył do tego oflagu 7 grudnia 1939) i II C Woldenberg (numer jeniecki 52796). 25 stycznia 1945 ewakuowany przez Niemców na Zachód, dotarł do oflagu X C Lubeka.
Wyzwolony z oflagu 3 maja 1945 przez wojska angielskie, przebywał w zgrupowaniu polskich jeńców pod Lubeką. Pierwszym transportem z Lubeki wyjechał do Polski i 12 grudnia 1945 przybył do Włocławka. Po pobycie na leczeniu w Warszawie, zameldował się w Rejonowej Komendzie Uzupełnień we Włocławku i po przejściu komisji lekarskiej rozpoczął starania o pracę. 29 stycznia 1946 został zatrudniony w Fabryce Papieru Nr II czyli Papierni Nr 2 (wówczas działającej pod nazwą Włocławskie Zakłady Papiernicze) przy ulicy Toruńskiej 10/12 we Włocławku. Z dniem 1 stycznia 1951 objął stanowisko sekretarza technicznego, pod koniec lipca 1957 pracował na stanowisku starszego ekonomisty w Dziale Planowania, potem jako starszy planista planowania wewnątrz-zakładowego. Na emeryturę przeszedł z dniem 1 października 1964.
Od 1 października 1946 należał do Polskiej Partii Socjalistycznej, a od 15 grudnia 1948 był członkiem Polskiej Zjednoczonej Partii Robotniczej. Należał do związku zawodowego pracowników przemysłu chemicznego, piastował też funkcję sekretarza Ligi Przyjaciół Żołnierza.
Franciszek Ptaszyński był żonaty z Kazimierą Albiną z domu Nussbaum (ur. 30 listopada 1906 w Złoczowie, zm. 24 sierpnia 1999 w Krakowie). W czasie okupacji żona była wysiedlona do Generalnej Guberni, gdzie pracowała w urzędzie gminnym. Po wojnie pracowała jako maszynistka w jednej z powiatowych instytucji. Z ich związku narodziła się 11 czerwca 1935 w Toruniu córka Grażyna Maria (zm. 3 marca 2005 w Krakowie).
Kapitan Franciszek Ptaszyński zmarł we Włocławku w dniu 12 maja 1965 i pochowany został na tamtejszym cmentarzu komunalnym – sektor: 3, rząd: 1, grób: 54.
