Urodził się w dniu 4 września 1899 w Rzadkiej Woli (parafia Brześć Kujawski w gminie Falborz) jako syn Mateusza i Marianny Przybysz (rodzice zawarli związek małżeński w 1891).
W okresie Dwudziestolecia, po odbyciu zasadniczej służby wojskowej, obrał karierę podoficera zawodowego w Wojsku Polskim. Jego jednostką macierzystą został włocławski 14 pułk piechoty. W toku swej służby awansował do stopnia plutonowego.
W dniu 16 listopada 1929 we włocławskiej parafii wojskowej pw. św. Michała plutonowy Franciszek Grekowicz zawarł związek małżeński z 25-letnią panną Heleną Śmiałek, córką Szczepana i Marianny Wieczorkiewicz (ur. 23 października 1904 w Brzeziu – parafia Wieniec). Zgodę panu młodemu na ślub wydał dowódca 14 pułku piechoty w dniu 25 października 1929, a sakramentu małżeństwa udzielił proboszcz parafii wojskowej ks. kpt. Antoni Kosiba. Jednym ze świadków był plutonowy 14 pp Bolesław Chełminiak. Z ich związku w dniu 16 sierpnia 1930 urodził się w Łówkowicach (parafia Łowiczek w powiecie nieszawskim) syn Marian Antoni. 9 grudnia 1932 narodziła się we Włocławku córka Ewa Barbara, a 28 marca 1942 przyszedł w tym mieście na świat syn Włodzimierz.
Rozkazem organizacyjnym Nr 1 Dowództwa 14 pułku piechoty z dnia 1 kwietnia 1932 przydzielono plutonowego zawodowego Antoniego Grekowicza do personelu komendy Przysposobienia Wojskowego na powiat Włocławek – na stanowisko instruktora. Rozkaz organizacyjny Nr 3 Dowództwa włocławskiego pułku z dnia 1 września 1933 nadał mu przydział służbowy do kompanii administracyjnej (jako podoficer nadetatowy przebywał wówczas na urlopie).
W okresie niemieckiej okupacji mieszkał we Włocławku i pracował jako urzędnik. Aresztowany przez władze hitlerowskie i 5 października 1944 osadzony w obozie koncentracyjnym Mauthausen-Gusen jako więzień polityczny. Zmarł w tym obozie 9 stycznia 1945.