Urodził się w dniu 3 marca 1906 we Włocławku jako syn Mariana i Katarzyny Walczak. Absolwent Oficerskiej Szkoły Piechoty. Promowany na stopień podporucznika ze starszeństwem od 15 sierpnia 1929 i 95. lokatą w korpusie oficerów piechoty. Wcielony do 14 pułku piechoty, w którym stawił się 30 sierpnia tr. i otrzymał przydział do 2. kompanii c.k.m. W roku 1930 zajmował 349. lokatę łączną na liście starszeństwa oficerów korpusu piechoty.
Na dzień 16 września 1930 piastował stanowisko młodszego oficera w kompanii szkolnej i strzeleckiej 14 pp. Zarządzeniem Prezydenta Rzeczypospolitej z 17 grudnia 1931 został awansowany do rangi porucznika ze starszeństwem od 1 stycznia 1932 i 128. lokatą w korpusie oficerów piechoty. Na dzień 1 lipca 1933 zajmował 1862. lokatę łączną wśród poruczników piechoty i nadal służył w 14 pp.
W dniu 28 września 1933 ogłoszono zarządzenie Ministra Spraw Wojskowych o przeniesieniu porucznika Józefa Stawickiego, w korpusie oficerów piechoty, z 14 pułku piechoty do Szkoły Podchorążych Piechoty. Na dzień 5 czerwca 1935 zajmował 121. lokatę wśród poruczników piechoty ze swojego starszeństwa (była to 1611. lokata łączna) i pełnił służbę w Szkole Podchorążych Piechoty w Komorowie. Awansowany do stopnia kapitana piechoty ze starszeństwem od 19 marca 1938 i 94. lokatą.
Na dzień 23 marca 1939 zajmował nadal 94. lokatę wśród kapitanów piechoty ze swojego starszeństwa i piastował funkcję wykładowcy broni chemicznej w Szkole Podchorążych Piechoty w Komorowie.
Zginął z rąk niemieckich w Warszawie w dniu 31 stycznia 1942 – zamordowany w siedzibie gestapo przy al. Szucha.

Kapitan Józef Stawicki spoczywa na Cmentarzu Bródnowskim – kwatera: 20C, rząd: 6, grób: 20.