Urodził się w dniu 26 lipca 1898 w Opalenicy (powiat grodziski) jako syn Ludwika i Zofii z Lahmannów. Od roku 1904 kształcił się w szkole powszechnej w Opalenicy, którą ukończył w 1911. Dalszym etapem jego edukacji było seminarium nauczycielskim w Wolsztynie, w którym zdał egzamin dojrzałości (1916).
14 listopada 1916 został wcielony do armii niemieckiej jako podoficer i przydzielony do 5 pułku artylerii ciężkiej w Poznaniu. Uczestnik walk I wojny światowej. Od początku 1917 na froncie rumuńskim, następnie (do końca działań wojennych) na froncie francuskim. 24 grudnia 1918 zdezerterował z armii niemieckiej i przyłączył się ochotniczo (27 grudnia tr.) do powstańców wielkopolskich.
Mocą dekretu wydanego 14 stycznia 1920 przez Naczelnego Wodza marszałka Józefa Piłsudskiego został mianowany w rezerwie podporucznikiem piechoty, z powołaniem do czynnej służby na czas mobilizacji. Pozostawał wówczas żołnierzem 1 pułku Strzelców Wielkopolskich, z którego, rozkazem Ministra Spraw Wojskowych gen. por. Józefa Leśniewskiego, został przeniesiony do 155 pułku piechoty Wielkopolskiej.
W maju 1920 wyruszył ze 155 pułkiem piechoty Wielkopolskiej (wchodzącym w skład 10 Dywizji Piechoty) na front północny wojny polsko-bolszewickiej. Odznaczył się podczas walk nad Dzisną – 12 czerwca 1920 podczas starć nad jeziorem Szadje jako dowódca kompanii śmiałym atakiem zdobył silnie bronione pozycje nieprzyjacielskie (atakowane bezskutecznie od dwóch dni przez inne polskie oddziały). W ręce jego oddziału wpadło wówczas 6 karabinów maszynowych. W dniu 4 lipca 1920 podczas odwrotu znad rzeki Dzisny, po rozbiciu jednej z kompanii III batalionu 155 pp Wielkopolskiej i zranieniu dowódcy tegoż batalionu, ppor. Alejski pozostał jedynym zdolnym do walki oficerem batalionu. Zebrał jego pozostałości, objął nad nimi komendę i kilkukrotnie przebijał się przez otaczające siły nieprzyjacielskie, doprowadzając batalion do macierzystego pułku i ratując prawie cały tabor. W trakcie bitwy warszawskiej odznaczył się w natarciu na Serock (17 sierpnia 1920), kiedy to na czele 9. kompanii 155 pp jako pierwszy dotarł do miasta. Za te czyny odznaczony został w okresie późniejszym Orderem Virtuti Militari 5 klasy.
Na dzień 1 czerwca 1921 ppor. Ignacy Alejski pełnił służbę w 73 pułku piechoty (dawnym 155 pułku piechoty Wielkopolskiej). Dekretem Naczelnika Państwa i Wodza Naczelnego z dnia 3 maja 1922 został zweryfikowany w stopniu porucznika ze starszeństwem z dniem 1 czerwca 1919 i 2019. lokatą w korpusie oficerów piechoty. Do końca 1925 służył w katowickim 73 pp, zajmując w 1923 roku 1800. lokatę wśród poruczników, a rok później 896. lokatę pośród poruczników korpusu piechoty.
28 grudnia 1925 ogłoszono przeniesienie por. Ignacego Alejskiego (w korpusie oficerów piechoty, bez prawa do należności za przesiedlenie) z 73 pp do 14 pułku piechoty z Włocławka. We włocławskim pułku służył do czasu wybuchu II wojny światowej oraz podczas kampanii wrześniowej, zajmując między innymi stanowiska oficera ewidencyjnego, oficera mobilizacyjnego, dowódcy kompanii, oficera administracyjno-materiałowego i kwatermistrza.
W sporządzonym na przełomie 1926 i 1927 przez Szefa Departamentu Piechoty Ministerstwa Spraw Wojskowych płk. szt. gen. Józefa Zamorskiego „Wykazie imiennym poruczników i kapitanów – dowódców kompanii i baonów na froncie” – zaliczono por. Alejskiemu 8-miesięczny okres dowodzenia kompanią (czas dowodzenia oddziałami bojowymi na froncie obliczano od dnia 1 czerwca 1919 do dnia 1 marca 1921).
Zarządzeniem Prezydenta Rzeczypospolitej Ignacego Mościckiego z 19 marca 1928 został awansowany do rangi kapitana, ze starszeństwem z dniem 1 stycznia 1928 i 120. lokatą wśród oficerów piechoty. W 1930 zajmował 1623. lokatę łączną na liście starszeństwa kapitanów piechoty, a dwa lata później 100. lokatę w swoim starszeństwie. Na dzień 1 lipca 1933 zajmował 1252. lokatę łączną wśród kapitanów piechoty, a na dzień 5 czerwca 1935 była to już 1036. lokata łączna (a jednocześnie 79. lokata w swoim starszeństwie).
Za zasługi w służbie wojskowej odznaczony został przez Prezesa Rady Ministrów Srebrnym Krzyżem Zasługi, co ogłoszono 11 listopada 1937. Na lata 1938–1940 wybrano go do Kapituły „Pierścienia Pamiątkowego Korpusu Oficerskiego 14 pułku piechoty”. W październiku 1938 wziął udział w operacji zaolziańskiej, na stanowisku kwatermistrza zbiorczego pułku wystawionego przez 4 Dywizję Piechoty (dowódcą zbiorczego pułku został płk Franciszek Sudoł – dowódca 14 pułku piechoty). Na dzień 23 marca 1939 piastował stanowisko oficera administracyjno-materiałowego 14 pułku piechoty i zajmował 20. lokatę pośród kapitanów korpusu piechoty w swoim starszeństwie.
Podczas swej służby we włocławskim pułku Ignacy Alejski działał w Polskim Czerwonym Krzyżu, Polskim Białym Krzyżu oraz wojskowo-cywilnym klubie sportowym „Cuiavia”.
Zgodnie z przydziałem mobilizacyjnym objął stanowisko kwatermistrza 14 pułku piechoty, lecz z dniem 2 września 1939 odszedł do kadry pułku. Nadzorował ewakuację rodzin wojskowych w kierunku Rzeszowa. Dostał się do niemieckiej niewoli, w której przebywał w oflagach XI B Braunschweig i II C Woldenberg (numer jeniecki: 534).
Po oswobodzeniu z niewoli powrócił do Włocławka. Tam mieszkał do swej śmierci w dniu 4 października 1971. Pochowany został razem z żoną Ireną na włocławskim cmentarzu komunalnym – sektor: 1, rząd: 3, grób: 189.
W dniu 12 czerwca 1928 zawarł w kościele parafialnym św. Jana we Włocławku związek małżeński z Ireną z domu Antczak (córką Jana i Stanisławy Piotrowskiej). 13 czerwca 1929 urodził się im we Włocławku syn Antoni Ignacy Włodzimierz (zmarł 21 kwietnia 2016 w Szczecinie). Również we Włocławku, w dniu 6 września 1933, urodził się drugi syn – Mateusz Ludwik (zmarł 17 lipca 2012 w Sosnowcu). Bratem Ignacego Alejskiego był Walenty (ur. 5 lutego 1892, zm. 21 sierpnia 1965) – uczestnik I wojny światowej i powstania wielkopolskiego, spoczywający na poznańskim cmentarzu Junikowo.
Kapitan Ignacy Alejski odznaczony był:
- Krzyżem Srebrnym Orderu Wojennego Virtuti Militari (1922)
- Medalem Niepodległości (1932)
- Srebrnym Krzyżem Zasługi (1937)
- Medalem Pamiątkowym za Wojnę 1918–1921
- Medalem Dziesięciolecia Odzyskanej Niepodległości
