Urodził się w dniu 1 lipca 1897 w Cieszanowie (powiat Lubaczów) jako syn Jana i Marii Pałczyńskiej. Ochrzczony został w cieszanowskiej parafii 8 lipca tr. Jego rodzeństwem byli: Józef Antoni (ur. 1886), Eleonora Aniela (ur. 1887), Maria Michalina (ur. 1889), Joanna Józefa (ur. 1893), Stefania Karolina (ur. 1895) i Jadwiga Wiktoria (ur. 1899).
W roku 1903 rozpoczął edukację w pięcioklasowej szkole ludowej w Cieszanowie. Po jej ukończeniu pomagał rodzicom w domowych obowiązkach, a następnie pracował w sądzie powiatowym. W roku 1912 wstąpił do drużyny strzeleckiej zorganizowanej w rodzinnym mieście przy Towarzystwie Gimnastycznym „Sokół”, odbywając z nią, do końca lipca 1914, wszystkie ćwiczenia polowe z bronią. W roku 1913 uczestniczył we Lwowie w wielkich polowych ćwiczeniach Sokolich Drużyn Strzeleckich (prowadzonych pod komendą marszałka Józefa Piłsudskiego i generała Władysława Sikorskiego). Członek ochotniczej straży pożarnej w Cieszanowie oraz tamtejszego gniazda Polskiego Towarzystwa Gimnastycznego „Sokół”.
W sierpniu 1914 zmobilizowany przez władze austriackie (jako członek straży pożarnej nie mógł wziąć udziału w mobilizacji drużyn strzeleckich) i skierowany do prac w Twierdzy Przemyśl. Po upadku twierdzy powrócił w lutym 1915 do Cieszanowa, gdzie przebywał do czasu powołania w szeregi armii austro-węgierskiej. W dniu 2 listopada 1918 dostał się na froncie albańskim do niewoli serbskiej. 22 lutego 1919 zbiegł z niewoli i zgłosił się u tymczasowego polskiego konsula w Zagrzebiu, którego poinformował o dużej liczbie polskich jeńców nadal przetrzymywanych przez Serbów w obozach jenieckich na wybrzeżu dalmatyńskim. Przez dwa tygodnie jako urzędnik konsulatu zajmował się sprawą zwolnienia polskich jeńców, co też wkrótce nastąpiło. Wraz z pierwszą grupą uwolnionych Polaków, która przybyła do Zagrzebia, powrócił do Polski.
Przez Wiedeń i Kraków przybył do Jarosławia, gdzie wstąpił ochotniczo do formującego się 14 pułku piechoty. Uczestniczył we wszystkich walkach tego pułku na froncie ukraińskim i bolszewickim – od marca 1919, aż do podpisania Traktatu Ryskiego (marzec 1921). W marcu 1921 na polecenie ówczesnego majora 14 pp Ignacego Misiąga przeprowadził wywiad na granicy pruskiej.
W okresie międzywojennym służył jako podoficer zawodowy, a jego jednostkom macierzystą pozostawał 14 pułk piechoty z Włocławka. Pod koniec 1927 posiadał już rangę starszego sierżanta.
Rozkazem organizacyjnym Nr 1 Dowództwa 14 pułku piechoty z dnia 16 września 1930 starszy sierżant Karol Furtek przydzielony został do personelu kwatermistrzostwa włocławskiego pułku. Na mocy rozkazu organizacyjnego Nr 1 dowództwa włocławskiego pułku z dnia 1 kwietnia 1932 i rozkazu organizacyjnego Nr 3 z 1 września 1933 ponownie otrzymywał przydział do kwatermistrzostwa pułku. W dniu 5 listopada 1935 odrzucono jego wniosek o nadanie Medalu Niepodległości (służył wówczas czynnie w 14 pp).
Po II wojnie światowej mieszkał we Włocławku i pracował jako księgowy. Zmarł 6 grudnia 1968 we Włocławku i spoczywa na tamtejszym cmentarzu komunalnym – sektor: 83, rząd: 12, grób: 283.
Żonaty z Wincentyną Nowowiejską (ur. 4 lipca 1904, zm. 26 maja 1978). W dniu 19 listopada 1927 z ich związku urodził się we Włocławku syn Ireneusz Antoni (zm. 3 września 1934). Dziećmi Karola i Wincentyny byli również: Zbigniew (ur. 1923, zm. 1981), Wiesław (ur. 1937, zm. 1982) i Barbara (ur. 1935, zm. 1936).
Starszy sierżant Karol Furtek odznaczony był:
- Brązowym Krzyżem Zasługi (1935)
- Medalem Pamiątkowym za Wojnę 1918-1921 (1928)
- Medalem Dziesięciolecia Odzyskanej Niepodległości (1928)
- Brązowym Medalem za Długoletnią Służbę (1938)